y Dans cette formule il n’y a que des dérivées secondes des coefficients de la métrique et de z par rapport à x et à y, en conformité avec l’hypothèse des coordonnées de Riemann. F Les coordonnées de Riemann sont pratiquement des coordonnées cartésiennes dans le plan tangent à la Terre et, plus généralement à une surface ou un espace courbe. {\displaystyle \lambda } {\displaystyle \left(-{\frac {\partial P}{\partial x}},-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)} − ∂ G Il est plus simple d'utiliser les coordonnées sphériques qui donnent une métrique diagonale. sur et L'allemand Johann Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) publia ce travail d'importance majeure sur la géométrie différentielle dans Disquisitiones un paramétrage de la surface, supposée régulière. n N + ∂ v Alors, la courbure moyenne au point de paramètre ( u → → ∂ En effet, une déformation d'une coque implique une modification de sa métrique, ce qui n'est pas le cas (au premier ordre) pour une plaque ou plus généralement pour une surface sans courbure de Gauss. λ {\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial x}}\wedge {\frac {\partial P}{\partial y}}} 0 {\displaystyle -{\frac {\partial {\vec {n}}}{\partial y}}} Par conséquent, si , ∂ Plus surprenant on mesure que la courbure de Gauss est nulle dans le cas du cylindre. {\displaystyle {\frac {\partial P}{du}}} ∂ y ∧ x − λ Un vecteur normal à la surface est donné par le vecteur unitaire E Proposer un algorithme pour calculer le vecteur de flot de courbure en chaque sommet du maillage, à partir d’une structure de données en demi-arêtes. hypersurfaces $\Sigma$ à courbure moyenne constante qui sont plongées dans une variété Riemannienne compacte $(M ,g)$. 1 On peut définir la courbure d'un arc du plan euclidien de plusieurs façons équivalentes. 0 ∂ − F v y M {\displaystyle {\frac {\partial M}{du}}} M La courbure de Gauss, qui a pour dimension l’inverse du carré d’une longueur, devient très simple en coordonnées normales de Riemann, en approximant la surface par un paraboloïde dont les axes de symétrie coïncident avec les directions principales de la métrique. ∂ {\displaystyle {\vec {n}}} E Si est l'angle non orienté que fait en la tangente de vecteur-directeur avec la tangente orthogonale aux génératrices, on a vu plus haut que la seconde forme fondamentale. → {\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial x}}} M ′ De plus, dans le cas présent, gxy = 0. , on a donc : et donc, la matrice y ∂ C'est pourquoi les coordonnées de Riemann sont qualifiées de locales. La première forme fondamentale donne l'expression dans cette base du produit scalaire des deux vecteurs : La deuxième forme fondamentale est la forme quadratique associée à l'endomorphisme symétrique de Weingarten W, dont les deux valeurs propres sont les courbures principales de la surface au point considéré. . La somme est sa courbure moyenne. y d ∂ . ′ x n x On obtient ainsi des formules donnant la quantité totale de courbure moyenne, ou de courbure de Gauss, sur une région d’un maillage. Est'il évident que si je prends deux fonctions $ F_1$ et $ F_2$ qui s'annulent exactement aux mêmes endroits ($ \{F_1=0\} = \{F_2=0\}$), alors les courbures sont les mêmes, toujours bien sûr avec la courbure définie − x La courbure à l'intérieur d'un triangle La courbure à l'intérieur d'un triangle T d'angles alpha, beta et gamma, exprimée en degrés, est définie par : c(T)=alpha+beta+gamma-180. F , ) On vérifiera alors que : On obtient un résultat comparable pour {\displaystyle -{\frac {\partial {\vec {n}}}{\partial y}}} x f Alors, la courbure de Gauss au point de paramètre (x,y) vaut[4] : Soit Le cylindre est la révolution d'un segment autour d'un axe. I 2 , y Un vecteur normal à la surface est donné par le vecteur unitaire γ {\displaystyle g_{uu}\,\mathrm {d} u^{2}+g_{vv}\mathrm {d} v^{2}} donc dans le cas d'un cylindre de rayon R, la courbure vaut 1/2R ? ∂ Nous établissons l'existence d'une branche lisse d'hypersurfaces périodiques de type Delaunay qui ont toutes la même courbure moyenne non locale que celle d'un cylindre droit. 2 = , et {\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}} ∂ 1/R selon une direction 0 selon l'autre (la surface est plane dans cette direction). → 2 ∧ Courbure d'un arc plan en un point. La métrique de l’espace euclidien à trois dimensions est, En y remplaçant dz par son expression ci-dessus, la métrique devient. 2 N {\displaystyle -{\frac {\partial {\vec {n}}}{\partial x}}} ( → ∂ Cette fois-ci, la somme des angles d'un triangle est inférieur à 180 degrés, le périmètre d'un cercle est supérieur à 2πR et sa surface est supérieure à πR2. M ( {\displaystyle {\vec {y}}} x Par exemple, si vous étiez flexion de 3 mm (1/8 pouce) plaque de métal dans une 100 par 150 mm (4 x 6 pouces) angle, l'emplacement de courbure est de 100 mm (7/8 3 pouces) d'un bout de la plaque de métal et la même marque serait assis 15 mm (5 pouces) de 8.7 à partir de l'autre extrémité de la plaque métallique. est un vecteur propre de l'endomorphisme de Weingarten, de valeur propre , v ∂ Son déterminant donne l'équation vérifiée par les courbures principales, à savoir : On en tire le produit des deux racines n u u Dans cette expression, on a gxx = 1, gxy = 0 et. et On classifie les points d'une surface en fonction de la courbure de Gauss de la surface en ce point . N Les u et v sont les coordonnées de Gauss, correspondant par exemple dans le cas de la sphère aux coordonnées sphériques θ et ϕ. 3 Surface développable Définition = « surface réglée dont toute génératrice est stationnaire, c'est-à-dire telle que ... Courbure moyenne nulle= Energie de courbure nulle La stabilité de ces surfaces est maximale Plan de l'articleQuelle […] ) y x Courbure moyenne de l\u27ellipsoïde et du cylindre elliptique, exprimée à l\u27aide des fonctions de Lamé . {\displaystyle {\begin{pmatrix}L&M\\M&N\end{pmatrix}}-\lambda {\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}L-\lambda E&M-\lambda F\\M-\lambda F&N-\lambda G\end{pmatrix}}} λ x ∂ ( La formule générique de la métrique d’une surface est : où les coefficients gij de la métrique sont des nombres sans dimension. . → x I u d , n ) {\displaystyle {\vec {x}}} ( x , Supposons que la surface soit donnée par une équation z = f(x,y), où f est une fonction de classe On classifie les points d'une surface en fonction de la courbure de Gauss de la surface en ce point[1]. On imagine ensuite un plan tournant sur cet axe. Donc, quand on parle d’un cylindre dans une voiture, c’est l’élément central d’un moteur — qu’il s’agisse d’un moteur à combustion ou d’un moteur à explosion — à l’intérieur duquel le piston produit des mouvements de glissement. M → M x . 2 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}} y λ Supposons que la surface soit donnée par une équation . , 7. F L’équation d’une sphère de rayon R en coordonnées cartésiennes dans l’espace euclidien à trois dimensions est. v + le paramétrage de la surface, supposée régulière. − ∂ Sur une feuille de papier, la courbure d’un arc peut se mesurer de deux façons : Imaginez un circuit de moto sur un terrain parfaitement plat, parcouru à une vitesse constante. ) {\displaystyle -{\frac {\partial {\vec {n}}}{\partial y}}} La preuve utilise le théorème de bifurcation de Crandall–Rabinowitz appliqué à une équation elliptique fractionnaire de type quasilinéaire. 2 Imaginons une voile conçue pour un mât de type 2. Taper les données. {\displaystyle \left(-{\frac {\partial M}{\partial x}},-{\frac {\partial M}{\partial y}}\right)} P Ces rayons définissent des courbures (inverse du rayon) maximale et minimale (en tenant compte du signe, c’est-à-dire de l’orientation par rapport au vecteur normal). Le produit est la courbure de Gauss de en . ∂ x {\displaystyle {\vec {x}}} On vérifiera alors que : On obtient un résultat comparable pour ) ( , )